Обозначение: высота, ширина, длина. ширина — обозначение буквой. обозначение ширины на чертежах

Определение понятия площади


Множество измеримо по Жордану, если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана

Площадь — функция, которая обладает следующими свойствами:

  • Положительность, то есть площадь неотрицательна;
  • Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;
  • Инвариантность, то есть площади конгруэнтных фигур равны;
  • Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1.

Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры.

Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов, площадь определяется с помощью предельного перехода; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими. Существуют неквадрируемые плоские фигуры. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки.

Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность.

Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k-мерной поверхности в n-мерном пространстве (евклидовом или римановом), в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве.

Единицы измерения площади

В одном квадратном сантиметре сто квадратных миллиметров

Метрические единицы

  • Квадратный метр, производная единица Международной системы единиц (СИ); 1 м² = 1 са (сантиар);
  • Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²;
  • Гектар, 1 га = 10 000 м²;
  • Ар (сотка), 1 а = 100 м²:
  • Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
  • Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
  • Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м²;
  • Барн, 1 б = 10−28 м².

Русские устаревшие

  • Квадратная верста = 1,13806 км²
  • Десятина = 10925,4 м²
  • Копна = 0,1 десятины — сенные покосы мерили копнами
  • Квадратная сажень = 4,55224 м²

Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.

Другие

  • Акр
  • Рай = 1600 м² (40 м × 40 м).
  • Квадратный парсек
  • Планковская площадь (SP,ℓP2{\displaystyle S_{P},{\ell }_{P}^{2}}) ≈ 2,612099 · 10−70 м2

Калькулятор площади земельного участка

Если ЗУ име­ет пра­виль­ную пря­мо­уголь­ную фор­му, сто­ро­на А при­ни­ма­ет­ся рав­ной D, а B — С. Напри­мер, что­бы рас­счи­тать пло­щадь земель­но­го наде­ла дли­ной 103 м, шири­ной 57 м, нуж­но запол­нить поля в сле­ду­ю­щей после­до­ва­тель­но­сти: А — 103 м, В — 57 м, С — 57 м, D — 103 м.

Расчет площади участка сложного контура

Напри­мер, пяти­уголь­ник на рисун­ке ниже состо­ит из тре­уголь­ни­ка EFC и четы­рех­уголь­ни­ка ABCD. Пло­щадь четы­рех­уголь­ни­ка S рас­счи­ты­ва­ет­ся уже извест­ным нам спо­со­бом. Что каса­ет­ся пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, то она рав­на поло­вине пло­ща­ди четы­рех­уголь­ни­ка EHFJ, в том слу­чае если один из углов тре­уголь­ни­ка равен 90 гра­ду­сов (пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник).

Зада­дим дли­ны сто­рон слож­но­го кон­ту­ра ЗУ: А = 80 м; В = 70 м; С = 75 м; D = 60 м; E = 60 м; F = 50 м.

  • Вна­ча­ле рас­счи­та­ем пло­щадь фигу­ры ABCD, под­ста­вив в каль­ку­ля­тор зна­че­ния сто­рон А, В, С и D: Sabcd = 5023 м2.
  • Теперь опре­де­лим S фигу­ры EHFJ, под­ста­вив в каче­стве А и D — Е (60), В и С — F (50): Sehfi = 3000 м2.
  • Пло­щадь тре­уголь­ни­ка EFC: Sefc = 3000/2 = 1500 м2.
  • S земель­но­го участ­ка: 5023 + 1500 = 6023 м2.

Напри­мер, если h рав­на 45 м, а С — 75 м, то Sefc будет рав­на ½ х 45 х 75 = 1687 м2.

Sзу = 5023 + 1687 = 6710 м2.

Практическое применение калькулятора

Зна­ние пло­ща­ди ЗУ поз­во­ля­ет опре­де­лить вели­чи­ну земель­но­го нало­га. Напри­мер, извест­ны:

  • сред­няя кадаст­ро­вая сто­и­мость одно­го мет­ра зем­ли в реги­оне — 5000 руб/м2;
  • раз­ме­ры участ­ка А, В, С и D — 40, 30, 35 и 20 м2 соот­вет­ствен­но;
  • рас­по­ло­же­ние наде­ла в жилой зоне, то есть став­ка нало­го­об­ло­же­ния — 1,5%.

Пло­щадь, рас­счи­тан­ная по каль­ку­ля­то­ру пло­ща­ди ЗУ — 924,47 м2 или 9,24 сот­ки.

Даль­ней­ший рас­чет:

  • Кадаст­ро­вая сто­и­мость: КС = 5000 х 924,47 = 4622350 руб.
  • Вели­чи­на земель­но­го нало­га ЗН = 1,5% х 4622350 = 69335 руб.

Эту сум­му необ­хо­ди­мо будет выпла­чи­вать еже­год­но.

Дру­гой вари­ант — вос­поль­зо­вать­ся земель­ным каль­ку­ля­то­ром в виде кар­ты, кото­рый даст резуль­тат толь­ко в том слу­чае, если ЗУ есть в базе дан­ных.

От чего зависит кадастровая стоимость и налог

Вели­чи­на кадаст­ро­вой сто­и­мо­сти зем­ли зави­сит от мно­гих фак­то­ров:

  • реги­о­на;
  • гео­гра­фи­че­ско­го поло­же­ния участ­ка;
  • назна­че­ния зем­ли и т.д.

На вели­чи­ну нало­га ока­зы­ва­ют вли­я­ние:

  • нало­го­вая став­ка, кото­рая может быть раз­ной в раз­лич­ных реги­о­нах;
  • нали­чие льгот (все кате­го­рии льгот­ни­ков пере­чис­ле­ны в ст. 391 НК РФ).

Межевание земли

  • Надо вызвать кадаст­ро­во­го спе­ци­а­ли­ста, кото­рый про­ве­дет гео­де­зи­че­ские съем­ки, при­вя­жет дан­ный надел к еди­ным госу­дар­ствен­ным коор­ди­на­там, а в точ­ках пово­ро­тах кон­ту­ра уста­но­вит меже­вые зна­ки.
  • После того как межи уста­нов­ле­ны, мож­но сме­ло при­сту­пать к заме­ру длин сто­рон и рас­че­ту пло­ща­ди, а так­же пла­ни­ров­ке стро­и­тель­ных работ.

Каль­ку­ля­тор пло­ща­ди земель­но­го участ­ка

Сто­ро­на A

м.

Сто­ро­на B

м.

Сто­ро­на C

м.

Сто­ро­на D

м.

Пло­щадь участ­ка

Формулы расчета


Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных

Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми.

Треугольник

  • S=√ — известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 — полупериметр треугольника;
  • S=a•h/2, где h — высота, опущенная на сторону a;
  • S=a•b•(sin γ)/2, где γ — угол между сторонами a и b;
  • S=a•b/2, если ∆ ABC — прямоугольный (здесь a и b — катеты);
  • S=b²•(sin (2•β))/2, если ∆ ABC — равнобедренный (здесь b — одно из «бёдер», β — угол между «бёдрами» треугольника);
  • S=a²•√¾, если ∆ ABC — равносторонний (здесь a — сторона треугольника).

Четырёхугольник

Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:

  • S=(a+c)•h/2=e•h, если 4-угольник — трапеция (здесь a и c — основания, e — средняя линия трапеции, h — высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
  • S=a•h=a•b•sin φ=d1•d2•(sin φ)/2, если ABCD — параллелограмм (здесь φ — угол между сторонами a и b, h — высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 — диагонали);
  • S=a•b=d²/2, если ABCD — прямоугольник (d — диагональ);
  • S=a²•sin φ=P²•(sin φ)/16=d1•d2/2, если ABCD — ромб (a — сторона ромба, φ — один из его углов, P — периметр);
  • S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD — квадрат.

Многоугольник

S=a•n•h/2=a²•n/[4•tg (180°/n)]=P²/[4•n•tg (180°/n)], где n — количество вершин (или сторон) многоугольника, a — сторона n-угольника, P — его периметр, h — апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.

Круг

Круг — это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон. Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2•π•R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:

S=(π²•R²•cos (180°/n))/(n•sin (180°/n)).

Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim — знак предела), а lim [1/(n•sin (180°/n))]= lim [1/(n•sin (π/n))] при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:

S=π²•R²•1•(1/π)=π•R².

Периметр круга (длина окружности)

Каждый круг имеет центр. Расстояние от центра круга до любой точки, расположенной на окружности, имеет название радиус круга. Часто ученики путают понятия «круг» и «окружность» и пытаются определить площадь окружности. Это серьезная ошибка. Следует разделить в голове понятия «круг» и «окружность». У окружности нет и не может быть площади, у нее есть только длина.

Чтобы найти периметр круга, следует вычислить длину его окружности. Существует формула для нахождения длины окружности:

L = 2πr

L= 2πd

L – длина окружности

π – это число «пи», математическая константа. Она равна отношению длины окружности к длине ее диаметра. Древнее название числа «пи» – лудольфово число. Это число иррационально, его десятичное представление после точки никогда не заканчивается.

 π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502

Для удобства вычислений обычно используют значение 3.14

R – это радиус окружности

D – Диаметр окружности

Итак, чтобы определить периметр круга, надо найти произведение радиуса и 2π. Если в задаче указан диаметр, то

Например, перед нами круг с радиусом 3 см. Найдем его периметр.


L= 2*3,14*3

L=6π

L=6*3.14

L = 18.84 см

Pк= 18,84 см

Ответ: 18.84 см

Изменения в законодательстве

Если вам в ближайшем будущем предстоят регистрационные действия по оформлению, покупке, продаже дачного участка, то будет полезно узнать о том, что:

  • С 1-го марта 2020 года в России вступил в действие закон о внесении изменений в земельный кодекс РФ, который упрощает выкуп у муниципалитетов земельных участков, ранее находившихся под арендой, в собственность. А все дома, бани и другие хозпостройки подпадают под новую дачную амнистию, что сильно упрощает процедуру их регистрации.
  • С 1-го января 2020 года вступят в силу поправки к земельному кодексу, согласно которым в кадастровый паспорт должны быть вписаны точные границы участка. Осуществить ни один акты продажи, дарения, залога земли без точной фиксации границ будет невозможно.

Величина участка в сотках

В объявлениях о продаже, как правило, пользуются привычным обозначением и в описании участка указывают его площадь в сотках. Некоторые плохо представляют себе, как на деле будет выглядеть такой кусок земли, велик он или не очень. В годы массового строительства дач горожанам выделялся стандартный участок величиной в 6 таких единиц.

В эпоху планирования было подсчитано, что урожая, полученного с 5 соток земли, хватит, чтобы обеспечить овощами и фруктами семью из 4-х человек. Шестая единица меры полагалась на постройку небольшого дачного домика. Сегодня такую площадь земельного надела можно считать средней по величине.

Этого хватит, чтобы разместить на участке жилой домик и 1-2 хозпостройки, посадить грядки с овощами, яблони, груши, вишни. Если вы планируете строить дом для постоянного проживания, минимальная площадь участка должна быть не менее 4-х аров, этого хватит на само строение, небольшой огород и несколько плодовых деревьев.

/ Определение площади планиметром

Определение площади планиметром.

Цель работы – ознакомление с конструкцией и принципами измерений площадей механическим планиметром.

Планиметр — механический прибор, позволяющий путем обвода плоской фигуры любой формы определить ее площадь.

Полярный планиметр состоит из полюсного 1 и обводного 6 рычагов, соединяемых во время работы шарниром. На конце рычага 1 находится полюс 2 с иглой. На одном конце обводного рычага расположен счетный механизм, а на другом — обводное устройство.

Рисунок 11.

Удерживая планиметр за ручку 3 , обводят специальным устройством 4 (увеличительное стекло с точкой в центре) контур участка, площадь которого хотят измерить (рисунок 11).

Счетный механизм состоит из счетного колеса 9, имеющего 100 делений, верньера 10 с десятью делениями. Отсчеты выражаются четырехзначным числом (рисунок 11).

1-ая цифра — с циферблата 7 по указателю (считывается младшая)

2-я цифра — число на счетном колесе 9, подписанное до нулевого штриха верньера

3-я цифра – число целых делений между второй цифрой отсчета и нулевым штрихом делений.

4-я цифра берется с верньера по совпадающему штриху.

До начала измерения проверить прибор:

1) необходимо убедиться в плавности вращения счетного колеса, оно должно свободно вращаться на оси, не задевая за верньер;


2) поверхность верньера должна быть продолжением поверхности ролика

3) деления на ролике и верньере должны быть правильные, рифельные штрихи на ободке счетного ролика должны быть нанесены правильно;

4) направление рифельных штрихов на ободке счетного ролика должно быть параллельно оси обводного рычага.

Площадь контура получается при обводе планиметром, берут отсчеты по счетному механизму до начала обвода контура и в конце обвода. Выбирается положение планиметра, с таким расчетом, чтобы соблюдались следующие условия:

1) положение контура должно быть фиксированным при обводе фигуры.

2) во время обвода контура угол между полюсным и обводным рычагом должен быть не меньше 30° и не больше 150° .

3) при обводе контура предпочтение отдавать с положением рычагов (обводного и полюсного) примерно 90°.

4) каретка счетного механизма не должна сходить с края листа ватмана.

Площадь проверяется в следующей последовательности:

1. Отмечается исходная точка, с которой начинается обвод фигуры И’ берется отсчет, например, nl=4554.

2. По ходу часовой стрелки проводится обвод планиметром по конту­ру и берется отсчет, например, nп2=5666.

3. Формируют разность отсчетов (n2-n1 )= 1112.

4. По ходу часовой стрелки производится второй обвод планиметром по контуру и берется отсчет nЗ = 6779

5. Формируют разность отсчетов (nЗ – n2) =1113

6. сравниваются разность (n2 — nl) и (nЗ — n2),если разность отсчетов отличаются не более чем на 2 единицы при площади контура в 200 делений, 3 единицы при площади контура от 200 до 2000, 4 единицы, если площадь > 2000 делений, то выводится средняя разность отсчетов. Разность отсчетов дает площадь контура в делениях пла­ниметра. Чтобы получить площадь в га, необходимо ее вычислить по формуле

P = С(n2-n1)cp

где Р — площадь контура в га, С — цена деления планиметра, (n2 — nl)cp — средняя разность отсчетов.

Цена деления планиметра — количество га, приходящееся на 1 деление планиметра, она входит в рабочую формулу, следовательно, ее нужно определить прежде, чем измерять площадь.

Цена деления планиметра определяется по формуле:

где Р — известная площадь контура, для определения цены деления пла­ниметра с проще всего измерить площадь квадрата координатной сетки, квадрат обводится 4 раза, формируются разности отсчетов, выводится сред­няя разность отсчетов. Цена деления планиметра вычисляется с сохранением четырех значащих цифр.

У каждого планиметра цена деления С индивидуальна, она зависит от диаметра обводного колесика и длины обводного рычага.

В настоящее время существуют механические полярные и роликовые планиметры с цифровыми отчетными устройствами.

StudFiles.ru


С этим читают